https://github.com/ethereum/EIPs/blob/master/EIPS/eip-100.md

创世纪区块的难度是131,072，有一个特殊的公式用来计算之后的每个块的难度。如果某个区块比前一个区块验证的更快，以太坊协议就会增加区块的难度。

区块的难度影响nonce，它是在挖矿时必须要使用proof-of-work算法来计算的一个hash值。

区块难度和nonce之间的关系用数学形式表达就是：

Hd代表的是难度。

找到符合难度阈值的nonce唯一方法就是使用proof-of-work算法来列举所有的可能性。找到解决方案预期时间与难度成正比—难度越高，找到nonce就越困难，因此验证一个区块也就越难，这又相应地增加了验证新块所需的时间。所以，通过调整区块难度，协议可以调整验证区块所需的时间。(挖矿的过程就是要找出正确的nonce值)

另一方面，如果验证时间变的越来越慢，协议就会降低难度。这样的话，验证时间自我调节以保持恒定的速率—平均每15s一个块。

这就是以太坊的出块时间能够保持15秒的原因，因为当验证时间变长，就会降低难度；验证时间变短，则会加强难度，那么难度是怎么计算的呢？

 

eip	title	author	type	category	status	created
100	Change difficulty adjustment to target mean block time including uncles	Vitalik Buterin	Standards Track	Core	Final	2016-04-28

 就是告诉了当前区块的难度是怎么计算的：

adj_factor = max(1 - ((timestamp - parent.timestamp) // 10), -99)child_diff = int(max(parent.difficulty + (parent.difficulty // BLOCK_DIFF_FACTOR) * adj_factor, min(parent.difficulty, MIN_DIFF)))

 

然后如果block.number >= BYZANTIUM_FORK_BLKNUM（拜占庭硬分叉），则难度的计算的第一个公式变为：

adj_factor = max((2 if len(parent.uncles) else 1) - ((timestamp - parent.timestamp) // 9), -99)

即Byzantium版本

diff = (parent_diff +(parent_diff / 2048 * max((2 if len(parent.uncles) else 1) - ((timestamp - parent.timestamp) // 9), -99))) + 2^(periodCount - 2)

有关上面的拜占庭版本的详细介绍看：https://blog.csdn.net/t46414704152abc/article/details/81538361

以太坊挖矿过程：

这个地方没有太懂为什么，之后再多多查查资料

这里主要是看：

以太坊挖矿难度调整

以太坊中的区块的难度调整公式如下图所示。 

参数说明

1. 区块链难度调整中，创始块的难度被设置为D0=131072 ，此后每个区块的难度都与其父区块的难度相关。D(H)是本区块的难度，由P(H)Hd+x×ζ2和难度炸弹ϵ构成。

2. P(H)Hd为父区块的难度，每个区块的难度都是在父区块难度的基础上进行调整。

3. x×ζ2用于自适应调节出块难度，维持稳定的出块速度（15秒）。

4. ϵ表示难度炸弹。
5. 难度有最低下限，即不能低于D0=131072

根据EIP-100给出的式子，可以得出：

P(H)Hd = parent_diff

x = parent_diff / 2048

ζ2 = max((2 if len(parent.uncles) else 1) - ((timestamp - parent.timestamp) // 9), -99)

ϵ = 2^(periodCount - 2)

其中x和ζ2的计算方式如下图所示。 

• x 是父区块难度的2048的取整，是调整的单位。
• ζ2是调整系数，其最小只能是-99。
• y的取值依赖于父区块是否包含叔父区块，如果包含，则y=2，否则y=1。y = (2 if len(parent.uncles) else 1)
• HS是本区块的时间戳，P(H)Hs是父区块的时间戳，单位为秒，并且HS>P(H)Hs。
• 难度降低的上界设置为−99 ，主要是应对被黑客攻击或其他目前想不到的黑天鹅事件。

假设当父区块不带叔父区块的时候（y=1），出块时间 = (timestamp - parent.timestamp)，调整过程如下：

• 出块时间在[1,8]之间，出块时间过短，难度调大一个单位。
• 出块时间在[9,17]之间，出块时间可以接受，难度保持不变。
• 出块时间在[18,26]之间，出块时间过长，难度调小一个单位。
• … 
  这里发现，出块时间变长，区块的整体难度就会调小，假若有的矿工，故意将区块的时间戳改的比较晚（矿工是可以更改时间戳的），那么是不是就可以抢先发布区块呢？比如说将时间戳延迟写15秒，会怎么样呢？这样就会导致该矿工计算出来的难度比别的矿工计算的难度低，其他矿工15秒发布一个区块，而该矿工可以在10秒内发布区块，可以拿到区块奖励。但是问题在于假如刚好也有别的区块在10秒内发布了区块，此时根据POW的规则，另外一个矿工发布的区块难度更大，因此其他矿工会以最大工作量标准，选择15秒内挖出的区块所在的链作为主链，而该矿工发布的区块便成了叔父区块。

难度炸弹计算公式如下图所示。 

• ϵ是2的指数函数，每十万个块扩大一倍，后期增长非常快，这就是难度“炸弹”的由来。

• H′i称为fake block number，由真正的block number Hi减少三百万得到。之所以减少三百万，是因为目前proof of stake的工作量证明方式还存在一些问题，pos协议涉及不够完善，但是难度炸弹已经导致挖矿时间变成了30秒左右，为了减小难度，就会减去三百万。

设置难度炸弹的原因是要降低迁移到PoS协议时发生fork的风险，假若矿工联合起来抵制POS的工作量证明模式，那就会导致以太坊产生硬分叉；有了难度炸弹，挖矿难度越来越大，矿工就有意愿迁移到PoS协议上了。难度炸弹的威力，可以通过下图看出。 

区块数量到370万之后，挖矿难度突然递增，到430万时，难度已经非常之大了，这时候挖矿时间已经变为为30秒，但是POS协议还没有完善，于是以太坊将挖矿难度公式进行调整，使得每次计算时，当前区块号减去三百万，这样就降低了挖矿难度，并且在这个时期，对以太坊出块奖励进行了调整，从原来的5个ETH变为3个ETH。

// CalcDifficulty is the difficulty adjustment algorithm. It returns// the difficulty that a new block should have when created at time// given the parent block's time and difficulty.func (ethash *Ethash) CalcDifficulty(chain consensus.ChainReader, time uint64, parent *types.Header) *big.Int {    return CalcDifficulty(chain.Config(), time, parent)}// CalcDifficulty is the difficulty adjustment algorithm. It returns// the difficulty that a new block should have when created at time// given the parent block's time and difficulty.func CalcDifficulty(config *params.ChainConfig, time uint64, parent *types.Header) *big.Int {    next := new(big.Int).Add(parent.Number, big1)    switch {    case config.IsByzantium(next):        return calcDifficultyByzantium(time, parent)    case config.IsHomestead(next):        return calcDifficultyHomestead(time, parent)    default:        return calcDifficultyFrontier(time, parent)    }}// Some weird constants to avoid constant memory allocs for them.var (    expDiffPeriod = big.NewInt(100000)    big1          = big.NewInt(1)    big2          = big.NewInt(2)    big9          = big.NewInt(9)    big10         = big.NewInt(10)    bigMinus99    = big.NewInt(-99)    big2999999    = big.NewInt(2999999))

 

以太坊中难度计算公式如下图所示，由于目前处于以太坊发展的Metropolis中的Byzantium阶段，所以难度计算公式的函数名称为calcDifficultyByzantium

// calcDifficultyByzantium is the difficulty adjustment algorithm. It returns// the difficulty that a new block should have when created at time given the// parent block's time and difficulty. The calculation uses the Byzantium rules.func calcDifficultyByzantium(time uint64, parent *types.Header) *big.Int {    // https://github.com/ethereum/EIPs/issues/100.    // algorithm:    // diff = (parent_diff +    //         (parent_diff / 2048 * max((2 if len(parent.uncles) else 1) - ((timestamp - parent.timestamp) // 9), -99))    //        ) + 2^(periodCount - 2)    bigTime := new(big.Int).SetUint64(time)    bigParentTime := new(big.Int).Set(parent.Time)    // holds intermediate values to make the algo easier to read & audit    x := new(big.Int)    y := new(big.Int)    // (2 if len(parent_uncles) else 1) - (block_timestamp - parent_timestamp) // 9    x.Sub(bigTime, bigParentTime) // x = block_timestamp - parent_timestamp    x.Div(x, big9) // x = (block_timestamp - parent_timestamp) //9，整除9    if parent.UncleHash == types.EmptyUncleHash {//判断有无叔父区块        x.Sub(big1, x) //无为1， x = 1 - (block_timestamp - parent_timestamp) //9    } else {        x.Sub(big2, x)//有为2 , x = 2 - (block_timestamp - parent_timestamp) //9    }    // max((2 if len(parent_uncles) else 1) - (block_timestamp - parent_timestamp) // 9, -99)    if x.Cmp(bigMinus99) < 0 { x与-99比，看谁大，小于0则说明-99大        x.Set(bigMinus99) //x的值设为-99，此时x = ζ2    }    // parent_diff + (parent_diff / 2048 * max((2 if len(parent.uncles) else 1) - ((timestamp - parent.timestamp) // 9), -99))    y.Div(parent.Difficulty, params.DifficultyBoundDivisor) //y = parent_diff / 2048    x.Mul(y, x) // x = y * ζ2    x.Add(parent.Difficulty, x) // x = parent_diff + y * ζ2    // minimum difficulty can ever be (before exponential factor)    if x.Cmp(params.MinimumDifficulty) < 0 { //与创世区块的难度比较，创世区块的难度是难度的最低值，如果算出来的难度低于它，那就设置为创世区块的难度        x.Set(params.MinimumDifficulty)    }    // calculate a fake block number for the ice-age delay:    // https://github.com/ethereum/EIPs/pull/669    // fake_block_number = max(0, block.number - 3_000_000)    fakeBlockNumber := new(big.Int)    if parent.Number.Cmp(big2999999) >= 0 { //当父区块号 >= 2999999,说明本区块 >= 3000000，所以要减去3百万，以此来降低难度，所以用父区块数 - 2999999即可        fakeBlockNumber = fakeBlockNumber.Sub(parent.Number, big2999999) // Note, parent is 1 less than the actual block number    }    // for the exponential factor    periodCount := fakeBlockNumber    periodCount.Div(periodCount, expDiffPeriod) //periodCount = periodCount / 100000    // the exponential factor, commonly referred to as "the bomb"    // diff = diff + 2^(periodCount - 2)    if periodCount.Cmp(big1) > 0 {        y.Sub(periodCount, big2) //        y.Exp(big2, y, nil)        x.Add(x, y)    }    return x}

 

frontier版本已经不使用了，它存在的问题是没有考虑到到13秒的距离。出块1秒和12秒有同样的难度计算值

 

然后还找到了另一个很好地解释了难度的帖子，但是它讲的是Homestead的版本：

以太坊(Ethereum ETH)是如何计算难度的

https://blog.csdn.net/Metal1/article/details/80151535

这个是Homestead版本的计算方法，与Byzantium版本的不同之处就在于adj_factor = max(1 - ((timestamp - parent.timestamp) // 10), -99)

block_diff = parent_diff + 难度调整 + 难度炸弹

难度调整 = parent_diff // 2048 * MAX(1 - (block_timestamp - parent_timestamp) // 10, -99)

即难度调整 = parent_diff // 2048 * adj_factor （BLOCK_DIFF_FACTOR在这里设置为2048）

难度炸弹 = INT(2**((block_number // 100000) - 2)) （向下取整）

 

该版本是在区块数还没有到达三百万时候的版本，想在超过三百万后，为了降低难度，减少出块的时间，都用上面的Byzantium版本了

https://github.com/ethereum/go-ethereum/blob/master/consensus/ethash/consensus.go

// calcDifficultyHomestead is the difficulty adjustment algorithm. It returns// the difficulty that a new block should have when created at time given the// parent block's time and difficulty. The calculation uses the Homestead rules.func calcDifficultyHomestead(time uint64, parent *types.Header) *big.Int {    // https://github.com/ethereum/EIPs/blob/master/EIPS/eip-2.md    // algorithm:    // diff = (parent_diff +    //         (parent_diff / 2048 * max(1 - (block_timestamp - parent_timestamp) // 10, -99))    //        ) + 2^(periodCount - 2)    bigTime := new(big.Int).SetUint64(time)    bigParentTime := new(big.Int).Set(parent.Time)    // holds intermediate values to make the algo easier to read & audit    x := new(big.Int)    y := new(big.Int)    // 1 - (block_timestamp - parent_timestamp) // 10    x.Sub(bigTime, bigParentTime)    x.Div(x, big10)    x.Sub(big1, x)    // max(1 - (block_timestamp - parent_timestamp) // 10, -99)    if x.Cmp(bigMinus99) < 0 {        x.Set(bigMinus99)    }    // (parent_diff + parent_diff // 2048 * max(1 - (block_timestamp - parent_timestamp) // 10, -99))    y.Div(parent.Difficulty, params.DifficultyBoundDivisor)    x.Mul(y, x)    x.Add(parent.Difficulty, x)    // minimum difficulty can ever be (before exponential factor)    if x.Cmp(params.MinimumDifficulty) < 0 {        x.Set(params.MinimumDifficulty)    }    // for the exponential factor    periodCount := new(big.Int).Add(parent.Number, big1) //这里与Byzantium版本不同处是不减三百万，直接父区块数加1得如今的区块数即可    periodCount.Div(periodCount, expDiffPeriod)    // the exponential factor, commonly referred to as "the bomb"    // diff = diff + 2^(periodCount - 2)    if periodCount.Cmp(big1) > 0 {        y.Sub(periodCount, big2)        y.Exp(big2, y, nil)        x.Add(x, y)    }    return x}